ادامه آنالیز عددی
ادامه آنالیز عددی
i=0,…,n-1
81= اگر تابع جدولی (xi,fi) برای i=0,…,n مقادیر xi متساوی الفاصله باشند یعنی برای
i=0,…,n-1 داشته باشیم xi+1-xi=n آنگاه فرمول بالا وهمین طور ماتریس های A,B,C
به شکل زیر ساده می شوند
0..........................1
A= h 4hh 0……0
0...............h4hh 0
.............................
h 4hh...................
1..........................0
3
___ (f2-2f1+f.)
n
3
____ (fi+1-2fi+fi-1) =B
n
3
___ (fn-2fn-1+fn-2)
n
hi fi+1 -fi
b i=________ - ____ (ci+1+2ci)
3 h
1
di= ____ (ci+1-ci)
3h
(19)
82=توجه که برای تابع دورن یاب اسپلاین مکعبی همواره برای تابع جدولی (xi,fi) که
i=0,…,n وقتی xi ها متساوی الفاصله باشند داریم :
1- برای i=0,…,n و ai=fi
2- همواره c.=cn=0
3-
-cn-1 c1
3- همواره ____ = dn-1 و d.= ___
3h 3h
1-
83= یکی از راه های یافتن ci ها حل معادله AX=B به شکل x=BA است که البته در این
حالت باید معکونس ماتریس A را محاسبه کرده که کار مشکل است در زیر معکوس ماتریس
A برای یافتن تابع اسپلاین مکعب همواره برای n=2
0 0 1
h 4h h =A
1 0 0
0.......0 4h 1 1-
-h 1 -h ___ = A
4h 0 0 4h
0 0 0 1
0 h 4h h = A
h 4h h 0
1 0 0 0
2
0 0 0 15h
2 2 1 1-
h -h 4h -4h ____ = A
2 2 2
-4h 4h -h h 15h
2
15h 0 0 0
برای حالت n=4
1 0 0 0 0
0 0 h 4h h
0 h 4h h 0 = A
H 4h h 0 0
1 0 0 0 0
3
0 0 0 0 56h
3 2 2 2 3
-h h -4h 15h -15h
3 2 2 2 3
4h -4h 16h -4h 4h 1-
= A
3 2 2 2 3
-15h 15h 4h h -h
3
56h 0 0 0 0
(20)
84= روش پیدا کردن تابع درون یاب اسپلاین مقید
همانند حالت اسپلاین هموار : si(x)=ai+bi(x-xi)+ci(x-xi) +di(x-xi)
از آنجا که برای هر i=0,…,n-1 و si(xi)=fi نتیجه می گیریم ai=fi در ادامه
برای پیدا کردن ei ها دستگاه ماتریس AX=B را حل می کنیم که در آن A یک
ماتریس (n+1)(n+1) و Xو B ماتریس هایی بصورت زیر می باشند
0..........................h. 2h.
0......................2(h.+h1) .....0
0...........................................0
...............................................
..............................................
2hn-1 .......................................0
c.
.
. = X
.
cn
' 3
____ (f1-f.)-3f.
h.
3 3
). (f2-f1)-____ (f1-f ____ h. h1
.
. = B
. 3 '
3 fn- ____ (fn-f n-1)
hn-1
بعد از پیدا کردن برای یافتن di و bi از فرمول زیر برای i=0,..,n-1 استفاده می کنیم
1 i h fi+1-fi
di=____ (ci+1-ci) و bi=________ - ____
3hi 3 hi
85= خطای درون یاب اسپلاین مقید
(4)
اگر قرار دهیم M= max|f (x) | و s تابع درون یاب اسپلاین مقید یکتای f برای
نقاط x. باشد آنگاه برای x€[x.,xn] داریم :
4 5M
j+1- xj) | f(x)-s(x) |
384
I
یعنی خطای اسپلاین مقید از مرتبه o(h4) می باشد . پایان
فصل 4: مشتق گیری
86= در این فصل تقریبی از مشتق تابع f(x) را درنقطه ای خاص بدست می آوریم زیرا
(21)
ممکن است مشتق گیری از تابع دشوار باشد و یا ضابطه f(x) را نداشته اشیم وفقط یک
تابع جدولی مانند زیر داشته باشیم. Xi x. x1……………xn
________________________
f(xi) f. f1……………..fn
برای تعیین مشتق تابع از چند جمله ای درون یاب استفاده می شود واگر نقاط x.,….,xn
2 r(r-1)
متساوی الفاصله باشند داریم : p(x)=fi+rAfi+_______ A fi
2
n r(r-1)………(r-n+1)
A fi __________________ + که x-xi=rh
n!
وبامشتق گیری از چند جمله ای درون یاب نسبت به r داریم :
2
3 1 r 2 1 1 '
P(x)=____ (Afi+(r-____ )Afi + (____ -r + ____ ) A fi+…..)
3 2 2 n
2
4 11 3 r 3 2 1 "
P(x)=____ ( A fi+(r-1) A fi + (__ - ____ r + ___ ) A fi+………..)
12 2 2 2
h
87= برای محاسبه مشتق در نقاط گره ای xi =x مقدار r را مساوی صفر قرار می دهیم
و تعدادی از جملات را نگه می داریم :
fi+1-fi Afi
f (xi)=______ = ______________ + o(n)
n n
f(xi+1)=fi+1=- f(xi+h) 1 3
2 2fi+1-____ fi+2-___fi 1 2 1
h 2 h
2
fi+2 -2fi+1 + fi Afi "
f(xi)=____ = __________________ + o(h)
2 2
h 3 2 h
2 i f A fi - A "
f(xi)= ________________ + o(h )
2
H
88=این قواعد را مشتق گیری تفاضلات پیشرو در نقطه x=xi گویند
1
اگر در چند جمله ای درون یاب قراردهیم ____= r آنگاه فرمول مشتق گیری در نقاط
2
میانی بدست می آید
4 1 3 1 1 h '
f (xi+____ )=_____ (Afi- _____ A fi +____ A fi+…..)
8 24 h 2
با نگهداری یک جمله از فرمول بالا داریم :
2 fi+1 – fi 1 h
f(xi+____ )=_____ (Afi)=________ + o(h )
h h 2
(22)
به همین ترتیب با قراردادن r=1 مشتق تابع در x=xi+1 بدست می آید
3 1 2 1 1 '
f(xi+1)=____ (Afi+ ____ A fi - ____ A fi +……)
6 2 h
1 Afi '
f (xi+1)=____ =______ (fi+1- fi )+o(h)
h h
این فرمول مشتق گیری تفاضلات نقطه میانی می نامیم
2 1 1 2
89= مرتبه خطای fi=___ [ Afi -___ A fi] برابر با o(h ) است
2 h
Afi '
90= مرتبه خطای f i = ____ برابر o(h) است
h
Afi ' 2 x ' '
91= مرتبه خطای f = ____ برابر با o(h ) است که f = f (xi +____ )
h f+1/2 2 i+1/2
Afi '
92= مرتبه خطای f =____ برابر با o(h) است
h i+1
3 2 "
A i - A f i 2
93= مرتبه خطای _________ = f برابر با o(h ) است
2 i
H
x. …….xn xi
94= قاعده مشتق گیری عددی گاوس فرض کنید داده ها به صورت جدول ___________
fi f. …….fn
n '
بطوری که x.f (x)=£wif(xi)=E
i=0
تعریف می شود که E خطا در مشتق گیری است ضرایب wi را وزن ها ی روش xi ها را
نقاط مشتق گیری گویند مقدار xi ها معلوم ومقادیر wi ها مجهول می باشند برای محاسبه
n
Wi ها به ازای f(x)=2,x,…..,x مقدار E را مساوی صفر قرار می دهیم که یک دستگاه
n+1 معادله و n+1 مجهول بدست می آید و از حل آن مقدار wi ها بدست می آیدپایان
فصل 6: انتگرال گیری عد ی
انتگرال گیری عدد
__________________________________________________
| | | | |
ذوزنقه سیمیون گاوس نقطه میانی رامبرگ
| | | |
_________ | ____________ |
| | | | |
ذوزنقه ساده ذوزنقه مرکب | گوس تک نقطه گاوس دو نقطه نیوتن – کوشی
|
________________________
| | |
سیمون ساده سیمون مرکب سیمون سه هشتم
(23)
96= روش ذوزنقه : ابتدا چند جمله ای درون یاب را برای نقاط xi+1 و xi می نویسیم سپس از طرفین آن انتگرال می گیریم
P(x)=f + r A fi , h= x -x
i i+1 i
1 xn+1 xn+1
/(fi+rAfi)hdr = / p(x)dx = f(x)dx /
0 x1 x1
h xn+1 h
___ = (fi+ fi+1) , T(h)= / p(x) dx = ___ (fi+fi+1)
2 x1 2
97= روش ذوزنقه مرکب : در روش ذوزنقه مرکب بازه [a,b] رابه n قسمت مساوی تقسیم
می کنیم و برای محاسبه انتگرال هر بازه از روش ذوزنقه استفاده می کنیم
x. =a
h h xn x1 b
/f(x)dx= /f(x)dx+…….+/ f(x)dx=____ (f.+f1)+…..+_____ (fn-1+fn)
2 2 xn-1 x. a
h
= ------ ( f.+2f1+…..+2fn-1+fn)
2
که آن را قاعده ذوزنقه مرکب نامیم.
98= خطای انتگرال گیری ذوزنقه : خطای انتگرال گیری ذوزنقه برای فاصله (xi,xi+1)
3
" h- h xn+1
برابر است با : / f(x)dx=____(fi+fi+1)= ____ f (vi)
12 2 x.
vi€(xi,xi+1)
b-a
بطور کلی اگر [a,b] را به n قسمت مساوی تقسیم کنیم _____=h مقدار خطا برابر
3 n
" -h h b
است با : E(T(h))=/f(x)dx-T(h)= _____ f (v)
12 a
" 2 -(b-a)
v€(a,b), E(T(h))=_____ h f (v)
که فرمول خطای ذوزنقه مرکب است
99=در روش ذوزنقه تعداد تکرارهای لازم n و طول گام n برای رسیدن به دقت لازم £ برابر
I+rAf
است با _____________ _________
2 / /
(b-a) M2 / 12£ /
____________ / و _______ /
12£ / | (b-a)M2 /|
(24)
"
که µN=max|f (x)| در بازه [a,b] روش ذوزنقه برای چند جمله ای های درجه اول
دقیق است.
100= در این روش چند جمله ای درون یاب را برای نقاط xi,xi+1,xi+2 که متساوی
الفاصله هستند می نویسیم واز طرفین انتگرال می گیریم
2 r(r-1)
P(x)=fi+rAfi+_____ A fi , x=xi+ rh
2
2 r(r-1) 2 xi+2
/p(x)dx=/(fi+rAfi+_____ A fi)hdr
2 0 xi
h
=____ (fi + 4 fi+1 +f i+2) = s(h)
3
که فرمول قاعده سمسیون ساده نامیده میشود
101= روش سمیسون مرکب : فرض کنید [a,b] را به 2n قسمت مساوی تقسیم می کنیم
b-a x2i+1 n/2-1 xn
بنا بر این h=_______ و داریم : /f(x)dx= £/f(x)dx=
2n x1 r=0 x.
h
=____ (f.+4f1+2f2+……….+4fn-1+fn)
3
xi+2
102= روش سمسیون سه هشتم : در این روش برای محاسبه / f(x)dx از چند
Xi
جمله ای درون یاب p(x) انتگرال می گیریم.
x-xi 3 r(r-1)(r-2) r(r-1)
P(x)=fi+rAfi+______ A fi+____________ A fi , r=________
h !3 !2
3 r(r-1)(r-2) r(r-1) 2 xi+2
/ p(x)dx= / (fi+rAfi+______ A fi+__________ A fi)hdr
!3 2 0 xi
3
=____ (fi+3fi+1+3fi+2+fi+3)
8
b-a
حال اگر بخواهیم انتکگرال را در [a,b] محاسبه می کنیم قرار می دهیم h=______
3n
ونقا ط را به صورت x.,x2,…,x3n در نظر می گیریم
X2n x2 b
S (h)= / f(x)dx= / f(x)dx+……+/f(x)dx
X2n-2 x. a 3/n
3h
=____ (f.+3f1+3f2+…….+2f2n-3+3f2n-2+f2n)
8
(25)
103= خطای روشر انتگرال گیری عددی سمسیون سه هشتم مرکب برابر است با
4
4 -h
E( s (h)=____ (b-a) f (§), §€(a,b)
80 8/3
81
104=خطای روش سمسیون . خطای روش سمسیون ساده برای نقاط xi,xi+1,xi+2 برابر
h xi+2
است با E(s(h))=/ f(x)dx= ____ (fi+4fi+1+fi+2) 5
3 xi
(4) -n
b-a
= _____ (f (v)) که v€(xi,xi+2) و چون 2n=_____ پس :
90 H
(4) 4 -(b-a)
E(s(h))=______ h f (v)
180
105= روش سمسیون برای چند جمله ای های تا درجه سه دقیق است
(4)
106= در روش سمیسون اگر f (x)n و طول گام h
برای رسیدن به دقت مطلوب £ برابر است با : ______
180£ / 4
________ h
5 / (b-a)M£ /| =
(b-a) M4 /
n> 4 / _________
2880£ =/
/|
لازم به ذکر است که h را باید طوری پیدا کنیم که n عددی زوج باشد
Xi+1
107= روش نقطه میانی : در این روش /f(x)dx به طور تقریبی از رابطه زیر بدست
x. h xi+1
می آید : /f(x)dx=hf(xi+___)
2 x.
109= مساحت قسمت هاشور خورده برابر با تعداد انتگرال محاشبه شده به روش نقطه میانی می باشد
...... /
............ /
............... /
................... /
________________
xi+1 xi+h/2 xi
110=قاعده نقطه میانی بیشتر برای حالت هایی استفاده می شود که تابع در نقاط ابتدایی و
انتهایی بازه انتگرال گیری تعریف نشده باشد
" b
111= اگر f (x) در فاصله [a,b] مثبت باشد داریم: M(h) / f(x)dx
= a =
(26)
"
112= اگر f در فاصله [a,b] تغییر علامت ندهد تقریب های زیر نسبت به ذوزنقه و نقطه
میانی دارای دقت بیشتری هستند
M(h)+T(h) 2M(h)+ T(h)
الف) _____________ ب) ____________________
2 3
خطای روش نقطه میانی برای xi+1 و xi بابر است با :
3
" -h h xi+1
/ f(x)dx- f(xi+____ )= ____ f (£), £€(xi,xi+1)
2£ 2 x.
b-a
واگر [a,b] را به n زیر بازه افراز کنیم که h=_______ طول این باز ه b باشد آنگاه :
n
2
" h (b-a)
E(M(h))=_________ , f (£), £€(a,b)
2£
2
" h (b-a)
اگر M2= max|f (x)| و (M(h))| |E
2£
114= روش نقطه میانی برای چند جمله ای ها ی درجه یک دقیق است
p
115= فرض کنید مرتبه خطای یک روش h باشد در این صورت اگر گام انتگرال را به
p
Kh تغییر دهیم خطای تقریب k برابر می شود
b
116= روش رامبرگ : فرض کنید I=/ f(x)dx……v1v.
h a
که با استفاده از روش ذوزنقه به ترتیب با گام های h=b-a و ___ و.... بدست آمده باشد
2
4v2 - v1 ' 4v3 - v2 '
قرار دهید : I 2 =______________ , I1=_______________
£-1 £ -1
1 1 2 2 1 1 2 2
و با ادامه روش : £ I2 - I 1 £ I3- I 2
I 2 =____________ , I2=_____________
2 2
£ -1 £ - 1
k-1 k k
k-1 4 I n+1 2k+2
و بطور کلی I n = ------------- - I n که خطای آن متناسب h می باشد
K
4 - 1 8 6 4 2
h h h h
_________________________
0
جدول آن به صورت زیر است : (27) 1 I
1
2 I1 0
3 I1 1 I2
I1 I2 0
1 I3
I3 0I
4
2 4
h h h
ستون اول جدول با استفاده ازروش ذوزنقه با گام های h و ___ و_____ و ____ محاسبه را شده 2 4 8
ونتیجه نیز به همین ترتیبر محاسبه می شود
xi x. ………….xn
117=روش نیوتن – گاس – جدول _____________________ را در نظر بگیرید که
fi f. …………fn
برای n+1 نقطه به صورت زیر تعریف می شود : w b
/ f(x)dx= £ wi f(xi)+E
i=0 a
که wi ها وزن روش و E خطای روش نام دارد و xi ها معلوم وwi ها مجهول هستند
n
برای محاسبه وزن ها برای f(x)=1,…,x مقدار E را مساوی صفر قرار داده و بعد از
حل دستگاه n+1 مجهول و n+1 معادله مقادیر وزن ها بدست می آید که اگر قرار دهیم
W0=wn=0 به نیوتن گاس باز می گردیم در روش نیوتن کاس باز مقدار مجهولات
n-1 b n
n-1 می باشد / f(x)dx= £ wif(xi) +E که رابطه برای 1,x,…,x
i=1 a
دقیق و E=0 میباشد
118= روش گاوس: فرض کنید f(x) در [a,b] پیوسته باشد در این روش برای تعیین ا
انتگرال تابع f(x) در [-1,1] از رابطه زیرا ستفاده می شود : n 1
Wif(xi) / f(x)dx=£
i=0 1-
که xi ها و wi ها مجهول هستند ویE خطای انتگرال گیری و برای تعیین 2n+2
2n+1
مجهول در رابطه فوق به ازای f(x)=1,x,…,x مقدار E را مساوی صفر قرار می دهیم
بعد یک دستگاه 2n+2 معادله و 2n+2 مجهول بدست می آید که با حل دستگاه مجهولات
محاسبه می شود این بوش برای چند جمله ای درجه 2n-1 دقیق می باشد یعنی :E=0
1
119= فرمول یک نقطه ای گاوس : این فرمول به شکل /f(x) dx= w.f(x.) هست
1-
که x.,w. مجهول هستند وبرای f(x)=1,x مقد ار انتگرال دقیق است
1 1
f(x)= 1à/dx= w. x1 à w.=2, f(x)=x à/ xdx=w.x.--> x.w.=0àx.=0
1- 1-
(28)
1
/ f(x)dx=2f(0)
1-
120= فرمول دو نقطه ای گاوس: فرمول دو نقطه برای توابع تا درجه 3 =2n-1 دقیق است
1 1
f(x)=1 à /dx=w.+w1=2 , f(x)=xà/ xdx=w.x.+w1x1=0
1- 1-
3 3 3 1 3 2 2 2 1 2
f(x)=x à /x dx= w.x. + w1x1 = ___ , f(x)=x à/x dx=w.x. +w1x1 =0 1- 3 1-
___
3 / 3 3
w1=w2=1 و x2=x1=__l/___ و w. x. + w1x1 =0
3 ___ ___
3 /l 3 /l 1
/f(x)dx= f(___ ) + f( - ___ )
3 3
اگر بازه انتگرال گیری روش گاوس از [-1,1] به [a,b] تغییر کند از تغییر متغیر زیر استفاده می شود
1 1 b-a b
f(x)dx=____ , dx=__ (b-a)dt , x=___ [(b-a)t+b+a] /
2 2 2 a
1 1
/ f(___ [ (b-a)t+b+a ])dt
2 1-
1
121= برای محاسبه انتگرال /f(x)dx ابتدا با تغییر متغیر x=__ آن را به فرم
1 a t
__
+ نوشته شده در ساعت 8:22  توسط جواد رمضانی |