ابرنیمپراشنگار/همپراش، نیمپراشنگار تجربی (نصف مجذور شدهی تفاضل) و همپراش برای هر جفت موقعیتی که در درون مجموعه داده قرار گرفته است را نشان میدهد و آنها را به عنوان توابعی از فاصلهی بین دو موقعیت رسم میکند. [۱]
[۱] – این اجازه را داریم که (S i )Z را بعنوان مقدار در iمین موقعیت مجموعه داده مشخص و تفکیک کنیم.
نیمپراشنگار تجربی برای (ij)مین جفت بسادگی عبارتست از : ۲ (Z(S i ) – Z(S j ))*0.5و همپراش تجربی حاصلضرب ضربدری یا برداری بصورت(z(s i )-z)(z(s i )-z) است که در آن Z میانگین دادهها است. ابرنیمپراشنگار/همپراش میتواند برای آزمودن خصوصیات محلی خودهمبستگی مکانی در داخل مجموعه دادهها و جستجوی دادههای پرت مورد استفاده قرار گیرد. ابرنیمپراشنگار به شکل زیر شباهت دارد.
هرنقطه قرمز رنگ نیمپراشنگار تجربی (نصف مجذور شدهی تفاضل که نسبت به فاصلهی جدایی رسم شده است) بین جفت موقعیتهایی از مجموعه دادهها است. میتوان نقاط را Brush نموده و جفتهای بهم پیوند داده شده را در ArcMapدید.
سطح نیمپراشنگار با جستجوی مستقیم نیز از امکانات ارائه شده هستند. مقادیر در ابرنیمپراشنگار در داخل کلاسهایی مبتنی بر جهت وفاصلهی بین جفت موقعیتها قرار گرفتهاند. این مقادیر در کلاسها، سپس میانگینگیری شده و برای تولید سطح نیمپراشنگار هموارسازی میشوند.
ساخت نيمپراشنگار تجربي
براي ساخت نيمپراشنگار تجربي، تفاضل مجذور شدهي بين مقادير همهي جفت موقعيتها را تعيين ميکنيم. زمانيکه آنها را رسم ميکنيم، نصف تفاضل شده را بر روي محور yها و فاصلهي جدايي موقعيتها را بر روي محور xها، رسم خواهيم نمود. نتيجهي کار را ابر نيمپراشنگار ميناميم. چشمانداز زير جفتشدگي يک موقعيت را (مربع مرکز) با يازده موقعيت نشان ميدهد.
يکي از اهداف اصلي پراشنگاري، کشف و سنجش وابستگيهاي مکاني است، که خودهمبستگي مکاني نيز ناميده ميشود. خودهمبستگي مکاني، کميتِ فرضي را تعيين ميکند که اين فرض بيان مينمايد، چيزهايي که نزديکتر به همديگرند، از چيزهايي که از هم دورترند، به هم شبيهترند. در اينصورت، جفت موقعيتهايي که به هم نزديکترند ( در ابر نيمپراشنگار به مراتب بيشتر در سمت چپ محور xها قرار ميگيرند)، مقادير يکساني به هم خواهند داشت (در ابر نيمپراشنگار در پائين محور yها قرار گرفتهاند). در مقايسه، جهت موقعيتهايي که از هم فاصلهي بيشتري دارند (در ابر نيمپراشنگار به طرف سمت راست محور xها جابجا ميشوند)، بيشتر شبيه هم نيستند و تفاضل مجذور شدهي بيشتري دارند (در ابر نيمپراشنگار به طرف بالاي محور yها جابجا ميشوند).
کلاسبندي نيمپراشنگار تجربي
همانطوريکه در چشمانداز نماي زميني موقعيتها در صفحات گذشته در ابر نيمپراشنگار در بالا ديده ميشود، رسم هر جفت از موقعيتها به سرعت غير قابل کنترل ميشوند. در صورتيکه تعداد نقاط خيلي زياد باشند، رسم جفتشدگيها در نيمپراشنگار باعث متراکمتر شدن ابر نيمپراشنگار ميشود، و به طور ناچيز و مختصري از آن ميتوان براي تفسير استفاده نمود. براي کاهش نقاط در نيمپراشنگار تجربي، جفت موقعيتها را مبتني بر فاصلهشان از يکديگر، گروهبندي مينمايند. اين فرايند گروهبندي را کلاسبندي نمودن مينامند.
کلاسبندي نمودن يک فرايند دو مرحلهاي است. اولين مرحله، جفت کردن نقاط و دومين مرحله، گروهبندي جفتها، بطوريکه جفتهايي که در يک کلاس قرار ميگيرند، فواصل مشترک و جهتهاي يکساني داشته باشند. در چشمانداز نماي زميني زير، ۱۲ موقعيت وجود دارد، مي توان جفت شدگي همهي موقعيتها با يک موقعيت يعني مربع مرکزي را ببينيم. رنگهاي يکسان براي پيوندهاي بين جفت نقاطي که نشاندهندهي فواصل کلاسي يکساناند، مورد استفاده قرار گرفتهاند.
اين فرآيند براي همهي جفتهاي ممکن، ادامه می يابد. به طور واضح مشخص است که در فرايند جفتشدگي، تعداد جفتها به شدت با اضافه شدن هر موقعيت، افزايش مييابد. اين مورد می تواند دلیلی برای وجود هر کلاس باشد، تنها ميانگين فاصله و نيمپراش همهي جفتهايي که در يک کلاساند، بصورت نقطهاي تنها و منحصر به فرد در نمودار ابر نيمپراشنگار تجربي رسم ميشود.
شکل زير تمام پيوندهاي دوتايي را که مابين ۱۲ موقعيت ميتواند وجود داشته باشد، نشان ميدهد. نقاط جهتيابي شده به سمت شمال، به طرف بالا دوران پيدا کردهاند.
در دومين مرحله از فرايند کلاسبندي نمودن، جفتها مبتني بر جهتها و فواصل مشترک، گروهبندي ميشوند. نمودار زیر نشان می دهد که هر نقطه در آن داراي مبدا مشترکي باشد. اين خصوصيت، متقارنِ نيمپراشنگار را ايجاد ميکند. هميشه پيوندها را در سمت راست محور عمودي قرار ميدهيم.
حالا، ميتوان پيوندهاي ۱ و ۲ که به طور روشن داراي جهت و فواصل شبيه به هم هستند را ببينيم. هر ياخته در شبکهبندي فوق يک کلاس را شکل ميدهد. پيوندهاي ۱ و ۲ در کلاس همساني قرار گرفتهاند، که آنرا با زرد، رنگآميزي کردهايم. پيوند ۱ از تفاضل مجذور شدهي مقادير در دو موقعيت که به يکديگر پيوند خوردهاند، شکل ميگيرد، و همچنين براي پيوند ۲ نيز شبيه اين کار صورت ميگيرد. سپس اينها ميانگينگيري ميشوند و در ۰٫۵ ضرب شده و يک مقدار نيمپراشنگار تجربي براي کلاس را ارائه ميدهند.
فرايند مشابهي را براي کلاس ديگر، اجرا ميکنيم، و آنرا با سبز رنگآميزي ميکنيم و در آن پيوندهاي ۳ و ۴ مشخص شدهاند. براي سادگي کار، فقط ۴ پيوند نمايش داده شدهاند، اما پيوندهاي زيادي وجود دارد، خيلي بيشتر از شرايط فعلي.
براي هر کلاس، تفاضل مجذور شده از مقادير در همهي جفت موقعيتهايي که به يکديگر پيوند خوردهاند، شکل ميگيرند، و سپس از آنها ميانگينگيري کرده و عبارت منتجه را در ۰٫۵ ضرب شده و در نهايت مقدار نيمپراشنگار به ازاي هر کلاس بدست ميآيد. در زمينآمار، ميتوان اندازه lag و تعداد کلاسها را کنترل کرد. مقدار نيمپراشنگار در هر کلاس با رنگي خاص، کدبندي شده است و سطح نيمپراشنگار ناميده ميشود.
در شکل قبل، ۷ کلاس بصورت افقي و عمودي از مرکز سطح نيمپراشنگار وجود دارد. براي کلاسها، رنگهاي سرد (آبي و سبز) مقادير پائينتر را نمايش ميدهند، و رنگهاي گرم (سبز و نارنجي) مقادير بيشتر را نمايش ميدهند. همانطور که قابل مشاهده است، بطور کلي مقادير نيمپراشنگار تجربي شبيه کلاسها با فاصله گرفتن از مبدا افزايش مييابد. اين نشان ميدهد که مقادير با افزايش فاصله، بيشتر ناهمسان خواهند بود.
يک روش انتخابي ديگر وجود دارد که اغلب براي گروهبندي جفتها در داخل کلاس ها مبتني بر قطاعهاي شعاعي استفاده ميشود. زمينآمار از اين روش استفاده نميکند.
نيمپراشنگار براي جفتهاي مختلف
برخي از اوقات مقادير موقعيتهاي اندازهگيري شده شامل يک تاثير جهتي خواهند بود که ميتواند به صورت آماري سنجش شود، اما ممکن است با هيچ فرايند قابل شناسايي معمولي نتوانيم آن را توضيح دهيم. اين تاثيرات جهتي به عنوان ناهمسانگردي شناخته ميشود. زاويهي شفافيت، زاويهاي را تعيين ميکند که، تا رسيدن به پهناي باند، آن زاويه نقاط نزديک بهم را شامل خواهد شد يا اين نقاط را نخواهد پذيرفت، پهناي باند مشخص ميکند که عرض جستجو، زمانيکه جفت نقاطي را تعيين ميکنيم تا در نيمپراشنگار آنها را رسم کنيم، چگونه بايد باشد. نقاط در درون کلاس، جفت موقعيتهايي هستند که در فواصل و جهتهاي معيني، به صورت جدا از هم قرار دارند. ما ميتوانيم به صورت ادراکي، کلاسبندي جهتي را هم با محدود نمودن جفت نقاطي که در فرايند گروهبندي رسم شدهاند. يا به وسيلهي رسم تمام جفتها و تنها توجه نمودن به بخشي از نمودار که نمايش دهندهي جهت معيني است، ببينيم. در چشم انداز زير کلاسبندي جهتي ۹۰ درجهاي، پهناي باند پنج متري، زاويهي شفافيت ۴۵ درجهاي، فاصلهي lag پنج متري از نقطه نمونهبرداري شدهي انتخابي (نقطهي آبي)، نمايش داده شده است.
جستجوي جهتي براي هر نقطهي نمونهبرداري شده و هر جهتي بر روي سطح، ادامه مييابد. در چشم انداز زير، کلاسبندي جهتي سه نقطه، نمايش داده شدهاند. بايد توجه داشت که جهت موقعيتهاي کمتري در اين فرايند گروهبندي، نسبت به نيمپراشنگار همه سويي که در مثال قبلي ديده شد، به حساب آورده شود.
جفتها سپس مطابق با فواصل و جهتهاي مشترک، کلاس بندي شده، و کلاسها ميانگينگيري شده و ميانگين جفتها براي هر کلاس بر روي نيمپراشنگار رسم ميشود.
متناوباً، در روش شبکهاي کلاسبندي قبلاً مورد بحث قرار گرفت، همه جفتها را ميتوان کلاسبندي نمود و همانطوريکه در زير نشان داده شده است، ميتوان زيرمجموعهاي جهتي بوجود آورد. اگر مرکز ياخته بر روي سطح نيمپراشنگار شامل جهت جستجو باشد، کلاس آن جهت بر روي نمودار ابرنيمپراشنگار رسم خواهد شد.
انتخاب اندازه lag
انتخاب اندازه lag، اثرات و نتايج مهمي بر روي نيمپراشنگار تجربي دارد. مثلاً، اگر اندازه lag بيش از حد بزرگ باشد، خودهمبستگيهاي نزديک برد. يا خودهمبستگيهاي با شعاع عمل کم، ممکن است، پوشانده شده و ناديده گرفته شوند.
اگر اندازه lag بيش از حد مجاز کوچک باشد، ممکن است کلاسهاي خالي زيادي بوجود آيد، و اندازههاي نمونه در درون کلاس، براي گرفتن نمايشگر يا نمايندهي ميانگينها براي کلاسها بيش از حد کوچک خواهد بود.
هنگامي که نمونهها بر روي شبکهي نمونهبرداري، مکانيابي ميشوند، فاصلههاي شبکهبندي معمولاً نشانگر خوبي براي اندازه lag ميباشند. با وجود اين اگر دادهها با استفاده از طرحهاي نمونهگيري تصادفي يا نامنظم حاصل شده باشند، انتخاب اندازه lag مناسب، ديگر بدينسان آسان نخواهد بود. با يک حساب سرانگشتي مشخص ميشود که حاصلضرب اندازه lag در تعداد lagها بايد در حدود نصف بزرگترين فواصل مابين تمام نقاط باشد.
همچنين، اگر دامنهي مدل نيمپراشنگار برازش شده نسبت به اندازهي نيمپراشنگار تجربي خيلي کوچک باشد، آنگاه ميتوان اندازه lag را کاهش داد. برعکس، اگر دامنهي نيمپراشنگار برازش شده نسبت به اندازهي نيمپراشنگار تجربي خيلي بزرگ باشد، ميتوان اندازه lag را افزايش داد.
انواع مختلفي از مدلهاي نيم پراشنگار
زمينآمار توابعي به شرح ذيل را براي انتخاب در مدل نيمپراشنگار تجربي، تهيه ميکند:
دايرهاي، کروي، چهارکروي، پنجکروي، نمايي، گاوسي،درجهدوم چرخشي، hole efferc، k-bessel، j-bessel، ثابت.
مدل انتخابي در پيشبيني مقادير مجهول تاثير ميگذارد، بويژه زماني که شکل منحني، نزديک مبدا، بطور معنيداري متفاوت باشد. در منحنيهاي شيبدارتر در نزديک مبدا، نزديکترين همسايهها تاثير بيشتري بر روي پيشبيني خواهند داشت. از اينرو، سطح خروجي کمتر هموار خواهد بود. هر مدل براي برازش انواع مختلفي از پديدهها با دقت بيشتر، طراحي ميشود.
مدل کروي
اين مدل، کاهش تدريجي از خود همبستگي مکاني را تا فاصلهي معيني نمايش ميدهد (به طور معادل، افزايش نيمپراش)، جلوتر از اين فاصله خودهمبستگي صفر است. مدل کروي يکي از مدلهايي است که به طور عمومي بيشترين استفاده را دارد.
مدل نمايي
اين مدل زماني مورد استفاده قرار خواهد گرفت که خود همبستگي مکاني با افزايش فاصله، به طور نمايي کاهش مييابد، و به طور کلي تنها در فاصلهي بينهايت ناپديد ميشود. مدل نمايي نيز بطور عمومي مورد استفاده قرار ميگيرد.
دامنه و آستانه
زماني که به مدل نيمپراشنگار نگاه ميشود، توجه خواهيم داشت که در فاصلهي معيني، مدل همتراز و ثابت نخواهد بود. اين فاصله را که در ابتداي مدل در آن فاصله، مدل ثابت نيست، به عنوان دامنه ميشناسيم. موقعيتهاي نمونهبرداري شدهي تفکيک شده به وسيله فواصل نزديکتر از دامنه، به طور مکاني خودهمبستهاند، در حاليکه موقعيتهايي که بيشتر از دامنه از هم فاصله دارند، اينگونه نيستند.
مقداري که مدل نيمپراشنگار در دامنه به آن ميرسد (مقدار بر روي محور yها) آستانه ناميده ميشود. آستانه جزئي عبارتست از آستانه منهاي تکه.
تکه
به طور فرضی، در فاصلهی جدایشی صفر (یعنی lag=0) مقدار نيمپراشنگار صفر باید باشد. اگرچه، در فاصلهی جدایشی کوچک بیاندازه خرد، تفاضل بین اندازهگیریها خیلی اوقات به صفر میل نمیکند. این حالت، اثر قطعهای نامیده میشود. مثلاً اگر مدل نيمپراشنگار محور yها را در ۲ قطع کند، در اینصورت تکه، ۲ است.
