آنالیز عددی دانشگاه
آنالیز عددی دانشگاه
بسم الله الرحمن الرحیم
مبانی آنالیز عددی دانشگاه
مولف: آذر سلگی
فصل 1: مبانی آنالیز:
1= در آنالیز عددی دو نوع عدد وجود دارد عدد دقیق وعدد تقریبی . هر جا که صحبت از
تقریب به میان آید بحث خطاست و بطور کلی خطای یعنی تفاوت بین مقدار واقعی و مقدار
تقریبی
2= منابع خطا الف- خطای مدل شامل صرف نظر و چشم پوشی کردن هاست مثل اصطکاک هوا
ب- خطای داده که مربوط به داده های ورودی مسائل می باشد مثل خطای محاسبه وزن جسم
و یا خطای اندازه گیری طول اجسام
ج- خطای نمایش اعداد . کار کردن با کسر متعارفی و اعداد گنگ با ماشین حساب یا کامپیوتر
مشکل ودر بعضی موارد غیر ممکن است این اعداد برای تبدیل شدن به اعداد اعشاری تعدادی
از ازقام خود را از دست می دهند که باعث ایجاد خطا می شود این خطا را خطای نمایش اعداد
می گوئیم د- خطای اعمال حسابی که از محاسبه با اعداد تقریبی ایجاد می شود
ه- خطای روش این خطا مربوط به روش های حل مسئله است . یک روش ممکن است دارای
خطای بیشتری نسبت به بقیه روش ها باشد
خطای مدل وخطای روش به نوع مسائله بستگی دارد و سه خطای دیگر مربوط به آنالیز
عددی می باشد
3= اگر A عددی حقیقی و مثبت باشد دارای بسط اعشاری منحصر به فر د زیر است
m-1 m
A=amx10 + am-1x10 +……
am‡0 و 0i‡ ai
اگر بسط اعشاری عدد A مختوم یا نا مختوم و متناوب باشد A گویاست
4= برای تبدیل عدد صحیح N از مبنای 10 به مبنای m از تقسیم های متوالی استفاده می
شود که الگوریتم آن به صورت زیر نوشته می شود
n
(1) قرار بده i=0 (2) bi=N-m[---]
M
n n
(3) اگر [--]=0 آنگاه به مرحله 6 برو (4) قرار دهید [---]=N
m m
(5)= قرار دهید i=i+1 و به مرحله 2 برو (6) b0,b1,…….,bi-1,bi را بنویس
(1)
5= برای تبدیل (0 A=(bnbn-1….b از مبنای m به مبنای 10 از ضرب متوالی استفاده می شود
n-1 n
A=(bnbn-1….b0)m=bnxm + bn-1 m +…+ b0
6= برای تبدیل اعداد اعشاری بین صفر ویک از مبنای 10 به مبنای m از الگوریتم زیر استفاده می شود
(1) قرار بده i=1 (2) قراربده bi=[m N]
(3) قرار بده N=mN - bi و اگر N=0 به مر حله 5 برو (4) قرار بده i=i+1 وبه مرحله 2 برو
(5) قراربده 0/b1b2…..bi-1 را چاپ کن
7= برای تبدیل عدد bi .......b1b2 =N از مبنای m به مبنای 1 از رابطه زیر استفاده کنیم
-k 2- 1-
(0/b1b2….bk)m=b1m + b2 m + …..+ bk m
b
8= اگر A عددی مخالف صفر باشد نمایش علمی آن به صورت A=ax1 0 است که
1lalb€Z می باشد به a مانتیس و به b نمای A گوئیم.
=
9= انتخاب تقریبی از یک عدد معلوم به دلیل محدودیت در ذخیره و نگهداری بعضی از اعداد
اعشاری نا چاریم مقداری از ارقام عدد را حذف کنیم که این عمل به دو روش قطع کردن و
گرد کردن انجام می شود.
روش قطع کردن: تعداد ارقامی که می خواهیم نگه می داریم و بقیه ارقام عدد را از جایی به
بعد حذف می کنیم
روش گرد کردن : اگر A=a1….an / b1….bn آنگاه گرد شده A تا n رقم به صورت زیر
محاسبه می شود
الف) اگر bn+1>5 یک واحد به bn اضافه می کنیم و از bn+1 به بعد را حذف می کنیم
ب) اگر bn+1bn+1 به بعد را حذف می کنیم
ج) اگر bn+1=5 آنگاه اگر بعد از bn+1 عدد مخالف صفر وجود داشته باشد یک واحد به bn
اضافه می کنیم واز bn+1 حذف می کنیم اگر عدد مخالف صفر وجود نداشته باشد در صورتی
که bn فرد باشد یک واحد به bn اضافه واز bn+1 حذف می کنیم واگر bn زوج باشد از bn+1
-(n+1)
حذف می کنیم اگر a گرد شده n – تا b رقم باشد lA-al
=
10= انواع خطا الف) خطای مطلق اگر a تقریبی از A باشد خطای مطلق آن به صورت
e (a) = lA-al محاسبه می شود
ب) خطای نسبی اگر a تقریبی از A‡0 باشد آنگاه خطای نسبی آن به صورت زیر محاسبه
(2)
lA–a|
می شود . §(a)= -------
|A|
11= خطای مطلق عددی: هر عدد ناکمتر از خطای مطلق را خطای مطلق عددی می گوئیم و
آن را با ea نشان می دهیم این خطا منحصر به فرد نمی باشد
e a
12= اگر a تقریبی از A باشد ea خطای مطلق حدی باشد آنگاه : §(a)=-----
|a|
13= اعداد ممیز شناور : هر عدد n رقمی ممیز شناور به صورت زیر نمایش داده می شود
2
d‡0 , 0i1d2…..dnx 10
= =
برای نوشتن یک عدد به صورت ممیز شناور باید آن عدد دارای بسط اعشاری متناهی باشد
14= دلیل تعریف خطای نسبی این است که خطای مطلق نمی تواند معیار خوبی برای دقیق
بودن تقریب باشد
15= اگر a,b تقریب هایی از A به B باشند دار یم :
e(ab)
=
e(a±b)
=
§(ab)
=
(a+b)§
=
a
§(--)=|§(a)-§(b)|
B
16= برای حل مسائلی که نیازبه استفاده از تقریب تفریق دو عدد دارند به دو نکته زیر
توجه کنید حد اقل نمودن تقریب ها . برای مثال برای تقریب یک عبارت رادیکالی بهتر
است اول عبارت را به توان بر سانیم تا تقریب ها حد اقل شوند معادل کردن عبارت با
حالتی که تفریق از بین برود
17= خطای محاسبه توابع : د ر این قسمت تقریبی از یک تابع و خطای آن را با استفاده
از بسط مک لوران تابع محاسبه می کنیم . اگر y=f(x) در همسایگی صفر تعریف
شده باشد و مشتقات آن از هر مرتبه موجود باشد داریم:
(n) x ’’ x ’ x
f(x)= f(0) + ---- f(0)+---- f(0)+……+ ---- f(0)
!n n !2 !1
(n) x
که نمایش بسط مک لوران تابع f (0) ------ حول نقطه صفر است.
n!
(3)
18= بسط مک لوران بعضی از توابع معروف:
3 2 n
X x x œ
e = £-----=1+x+---- +----+…….
!3 !2 n n=0
5 3 2n+1
X x x n œ
Sin x = £(-1) -----= x- ----- +------+…….. !5 !3 (2n+1)! n=0
5 3 2n+1
X x x œ
Sinhx=£----=x+-----+-------+………
!5 !3 (2n+1)! n=0
2n 4 2
X n œ x x
Cosx=1- ------ - --------- - ……..=£(-1)- ------
2n! n=0 !4 !2
2n
X œ
Coshx=£-----
2n!
3 2
X x
In(1+x)=x- ----- +-------+……
3 2
برای تقریبر تابع f(x) تعداد متناهی از جملات بسط تیلور آن را نگه می داریم لذا برای n
دلخواه می نویسیم : f(x)=pn(x)+R(x)
n
(n) x ’ x
Pn(x)=f(0)+------f(0)+……+------ f(0)
n! !1
n+1
(n+1) x
R(x)=---- f (0)+………
(n+1)!
که آن را باقیمانده f(x) می نامیم
19= کران بالای بسط مک لوران از رابطه زیر بدست می آید
(n+1)
n |f (x)|
|f(x)-pn(x)||x |
(n+1) ! =
20= ارقام با معنا: در ریاضی اعداد 6/4,6/40,6/400 برابرند ولی در علومی که با اندازه
گیری سر وکار دارند این اعداد دقتی در حد سانتی و میلی دارند یعنی صفر های بی اثر جلو
(4)
عدد نشان دهنده دقت اندازه گیری است
m-1 m
21= اگر a=am x 10 +a m-1 x10 +…….. تقریبی از A تعداد ارقام با معنای d باشد
m-n
بزرگ ترین عدد صحیح n که ne(a) a
=
می گوئیم . اگر a>1 آنگاه 1- (تعداد ارقام [a] m=a ( واگر 0
=
1] + تعداد صفر های بعد از ممیز [a -=m
-n
22= اگر a>0 تقریبی از A باشد و §(a)a حد اقل n رقم با معنای
=
درست دارد
-k 1
اگر a گرد شده A تا k رقم اعشار باشد آنگاه :e(a)
2
اگر a قطع شده A تا k رقم اعشار باشد آنگاه : §(a)
k
23= فرض کنید a تقریبی از A با n رقم با معنای درست باشد و b=10 x a
K
و B= 10 x A که k عدد صحیح است در این صورت b نیز تقریبی از B با n رقم با
معنای درست است و خطای نسبی a,b یکسان است .اگر قرار باشد تقریبی از A با خطای
-n
کمتری از 10= £ داشته باشیم کافی است آن عدد را تا n+1 رقم با معنا گرد کنیم
24= یک مساله یا یک روش را پایدار می گوئیم هر گاه تغییر کوچکی در داده های مساله
موجب تغییر کوچکی در جواب شود در غیر این صورت مساله ناپایدار است
25= دقت محدود د ر نمایش اعداد و خطای محاسباتی: در سیستم نرمال شده در مبنای B
بزرگترین عدد قابل نمایش عبارت است از : ’
(B – 1) -t __
’ X =(1-B ) B
-B __
و کوچک ترین عدد قابل نمایش عبارت است از x i =B
(فرض کنید ماشین حسابی در دست است که نرمال شده هر عدد را در مبنای B با مانتیس t
±b 1……bt
رقمی به صورت زیر نشان می دهیم. ±(0/d1d2…….dt)B x B
که bj ها وdi ها اعداد صحیح نا منفی هستند و i=1,…,t و 0 و j=1,…r
’ ’
d 1 ….dr
26= توجه کنید که برای نوشتن B x (0/d1……dt) در مبنای ده داریم :
’ ’
(d1…..dn)
(0/d1…..dt) x B
’ ’
(d1……dr) B
=(./d1…..dt)B1 x B
(پایان )
(5)
فصل 2: حل معادلات غیر خطی:
27= روش های حل معادله غیر خطی : روش تنصیف – روش نابجایی- - روش تکرار ساده
روش نیوتن راستون – روش وتری می باشد
28= معادله f(x)=0 که چند جمله ای باشد را یک معادله جبری گوئیم اگر f(x) شامل توابع
مثلثاتی نمایی و... باشد معادله را متعالی یا غیر جبری گویئم
29= برای تعیین تعداد و مقدار تقریبی ریشه های یک معادله به روش رسم منحنی یا جدول
بندی مقادیر تابع مشخص می کنیم
الف- در روش رسم تابع را رسم کرده محل تلاقی این منحنی با محور x ها ریشه معادله است
گاهی خود تابع قابل رسم نیست ولی می شود آن را به صورت تفاضل دو تابع که رسم آنها
ساده است نوشت که از محل برخورد نمودار های این دو تابع ریشه های معادله بدست می
آید
ب- جدول مقادیر تابع ریشه ها ی معادله را با توجه به تغییر علامت مقدار تابع می یابیم
30= اگر fدر [a,b] پیوسته باشد و f(a).f(b)f(x)=0 حداقل یک ریشه در (a,b)
دارد که اگر f در [a,b] اکیدا یکنوا باشد این ریشه منحصر به فرد است
31= ریشه های معادلات غیر جبری . روش هایی ارائه می شود که به وسیله آنها تقریبی از
ریشه معادله f(x)=0 بدست می آید در همه این روش ها دنباله ای مثل {xn} می سازیم که به
ریشه معادله f(x)=0 همگرا باشد در واقع با الگوریتم هایی که ارائه می شود جملات دنباله
را تا آنجا که یکی از شرایط توقف بر قرار باشد بدست می آوریم.
32= فرض کنید a ریشه معادله f(x)=0 و £ عددی بسیار کوچک باشد برای بدست آوردن
تقریبی از a دنباله {xn} را تا جایی محاسبه می کنیم که یکی از شرایط زیر بر قرار باشد
الف- |f(xk)|£ ب) |xn-xn-1|n=k تکرار الگوریتم
متوقف شود
33= مرتبه همگرایی یک دنباله {xn} را در نظر بگیرید اگر این دنباله به ریشه معادله x=a
همگرا باشد و عدد مثبت p و ثابت غیر صفرc موجود باشد که :
|a-xn+1| |£n+1|
Lim_________=c = lim_________
|a-xn| nàœ p nàœ
||£n|
آنگاه p را مرتبه همگرایی دنباله {xn} می گوئیم هر چه p بزرگتر باشد نباله سریع تر به
ریشه معادله همگراست
(6)
34= روش تنصیف یا دو بخشی
در این روش فرض کنیم عدد حقیقی a,b موجودند به قسمی که تابع f در [a,b] پیوسته و
f (a)f(b)f(x)=0 در (a,b) تنها یک ریشه دارد با مفروضات بالا
{xn} را طوری می سازیم که به ریشه معادله همگرا باشد
35= الگوریتم روش تنصیف
1= قرار دهید الگوریتم روش تنصیف
a+b
1= قرار دهید n=1 2= قرار دهید xn=______ و شرط توقف الگوریتم را بررسی کنید 2
x
3= اگر f(a)f(___)[a,xn] قرار دارد و قرارمی دهیم b=xn
n
4= اگر f(xn)>0 f(a) آنگاه ریشه در [xn,b] قرار دارد و قرارمی دهیم a=xn
5= اگر f(xn)f(a)=0 آنگاه xn ریشه معادله است
6= قرار دهید n=n+1 وبه مرحله 2 بروید
b-a
36= در روش تنصیف داریم |xn-a|a ریشه معادله است
n
2
تعداد تکرار های لازم با حد اکثر خطای e برای رسیدن به ریشه معادله در روش
تنصیف برابر است با : log(b-a)-log£
n = [________________]+1
2 log
دنباله {xn} د ر روش تنصیف همواره به ریشه a همگراست ومرتبه همگرایی آن یک
می باشد
37= روش نابجایی: در این روش فرض می کنیم یک ریشه بین دو نقطه (a,f(a)) و
(b,f(b)) قرار دارد خط واصل بین این دو نقطه را رسم می کنیم و محل برخورد آن با
محور x ها را (x1,0) می نامیم وقسمتی از [a,b] که رریشه در آن قرار ندارد را حذف
می کنیم و به این ترتیب ادامه می دهیم
38=الگوریتم روش نابجایی
a f(b)-bf(a)
قرار دهید (1)n=1 و (2)xn=___________ را محاسبه کنید
f (b)-f(a)
(3) اگر شرط توقف بر قرار است xn را به عنوان تقریبی از ریشه در نظر بگیرید
(4)اگر f(a)f(xn)[a,xn] قرار دارد و قرا ر می دهیم b=xn
(7)
(5)اگر f(a)f(xn)>0 آنگاه ریشه در [xn,h] قرار دارد وقرار می دهیم a=xn
(6)اگر f(a)f(xn)=0 آنگاه xn ریشه معادله است
(7)قرار دهید n= n+1 و به مرحله 2 بروید
روش نابجایی از روش تنصیف سریع تر است تعداد عملیات روش نابجایی از روش
تنصیف بیشتر است نقطه x. را نقطه ثابت f(x) گوئیم هر گاه f(x.)=x.
39= روش تکرار ساده (نقطه ثابت)
در این روش فرض کنیم f(x) در [a,b] دارای ریشه منحصر به فرد باشد معادله f(x)=0
را با دستکاری به صورت x=g(x) در می آوریم اگر a ریشه معادله f(x) باشد در این صورت
نقطه ثابت برای g(x) می شود دنباله {xn} از رابطه باز گشتی xn+1=g(xn) بدست می آید
که x. تقریبی اولیه و دلخواه برای ریشه معادله f(x) است دنباله {xn} ممکن است به ریشه
F(x)=0 همگرا باشد همگرایی این دنباله به انتخاب g(x) بستگی دارد
40= فرض کنید g(x) یک تابع از [a,b] به [b,a] با نقطه ثابت a در این بازه باشد همین
طور فرض کنید |g (x) |[a,b] x€ در این صورت دنباله {xn} که از
رابطه بازگشتی xn+1=g(xn) بدست می آید به نقطه ثابت a همگراست
41= فرض کنیم {xn} دنباله بدست آمده توسط رابطه باز گشتی xn+1=g(xn)
وهمگرا به a ریشه معادله f(x)=0 باشد گزاره های زیر بر قرارند
’ ’
اگر 0‡g(a) آنگاه مرتبه همگرایی دنباله یک و ثابت همگرایی g(a) می باشد
(k-1) ’
اگر g (a)=…..=g (a)=0 مرتبه همگرایی حداقل k می باشد
(k-1) ’ k
اگر g(a) =…..= g (a)=0 و g (a)‡0 مرتبه همگرایی k و ثابت همگرایی
K 1
_____ g (a) می باشد
K!
’
42= روش نیوتن رافسون – معادله f(x) در [a,b] دارای ریشه a باشد و f (x)‡0
و x تقریبی از ریشه معادله باشد خط مماس بر منحنی در نقطه (x.,f(x.)) را رسم می کنیم
و محل تلاقی آن با محور x ها را به عنوان تقریب جدید در نظر می گیریم و آن را x1
می نامیم به همین ترتیب ادامه می دهیم دنباله xn ها در هر مرحله به ریشه نزدیک تر می
شود .
42= الگوریتم روش نیوتن رافسون
1- قرار دهید n=0
(8)
f (xn)
2- xn+1=xn- ______ را محاسبه می کنیم
f '(xn)
3- شرط توقف را بررسی کنید 4- قرار دهید n=n+1 و به مرحله 2 بروید
2
44= اگر f€ c [a,b] و شرایط زیر بر قرار باشد
' "
f (a)f(b)x€[a,b] و f (x)=0 و تابع f (x) بر
[a,b] همواره مثبت یا همواره منفی باشد آنگاه در صورتی که d یکی از دو انتهای بازه
'
[a,b] باشد که در آن |f (x)| دارای کمترین مقدار خود است وداشته باشیم
f (d)
____ هر انتخاب [a,b] € x. همگرا به عددی مثل c می باشد
'
(d)| |f
45= اگر a ریشه ساده معادله باشد روش نیوتن – رافسون دارای مرتبه همگرایی حداقل دو
واگر ریشه تکراری باشد روش نیوتن رافسون دارای مرتبه همگرایی یک می باشد
اگر x. نقطه شروع روش نیوتن باشد آنگاه شرط همگرایی به شکل زیر است
f (x.) - f " (x.)
| ______________ |
2
[f ' (x.)]
یکی از شرایط توقف در روش های تکرای شرط |xn+1-xn|£ برای £>0 می باشد برای
استفاده از این روش جدول زیر را تشکیل داده ودر هر مرحله شرط توقف را بررسی می کنیم
x. x1 x2 ………. Xn
n+1 x1 x2 x3 ……… x
|x1-x.| |x2-x1| ………. |xn+1- xn|
اگر a ریشه مرتبه m ام تابع f(x) باشد دنباله {xn} حاصل از روش نیوتن رافسون
همگرا به a ریشه معادله باشد در این صورت :
m-1 en+1 xn+1 - a
Lim ______ = lim ______ = ________
m en nàœ xn-a àœ n
m-1 xn+1- xn
Lim _____________ = ________
m xn- xn-1 nàœ
46= در روش نیوتن هر گاه a ریشه تکراری از مرتبه m باشد به جای معادله اصلی ذکر
شده از معادلات زیر استفاده می شود mf(xn)
Xn+1=xn- ________
’
f (xn)
(9)
(m-1)
(xn) f
Xn+1=xn- __________
(m)
(xn) f
47= اشکالات روش نیوتن : f(x) باید موجود باشد و در نقاط xn محاسبه شود مقدار اولیه
x. باید نزدیک ریشه باشد ممکن است دنباله بدست آمده بین دو نقطه نوسان کند
'
48= روش وتری : در روش نیوتن در هر مرحله لازم است f(xn) و f(xn) محاسبه شود
برای بدست آوردن f' (x) در هر مرحله کار دشواری است برای رفع این مشکل می توان از
روش وتری استفاده کرد در این روش دنباله باز گشتنی {xn} از رابطه زیر بدست می آید.
Xn-1f(xn) - xnf(xn-1)
Xn+1=__________________
__ f (xn) - f(xn-1)
1+v 5
مرتبه همگرایی این روش 628/1= ________ است و روش وتر از روش تنصیف سریع
2
تر واز روش نیوتن رافسون کند تر است
49= f(x) یک چند جمله ای از درجه n باشد در این صورت f(x) دارای n ریشه مختلط نه
لزوما متمایز r1,…..,rn است وداریم f(x)=an(x-r1)……(x-rn)
روابط بین ریشه ها وضرایب چند جمله ای
n
اگر f(x)=anx +……+a, و r1,…..,rn ریشه های f(x) باشند آنگاه :
-an-1
r 1+……+rn=_______
an
a . n
r 1x ….. x r n=(-1) _______
a n
a n - s s
£ ri1…..ris=(-1) _____
a n 1
n 1
اگر r1 ریشه معادله f(x)= a nx +……+a. باشد آنگاه ___ ریشه معادله
Ri
n
g (x)= a. x +…..+an می باشد
50= اگر m تعداد تغییر علامت در جملات متوالی a.,…..,an و r تعداد ریشه های مثبت
معادله f(x)=0 باشد آنگاه rm-r زوج است . اگر m تعداد تغییر علامت در f(-z)
و k تعداد ریشه های منفی f(z) باشد km-k زوج است
_
51= اگر z ریشه چند جمله ای f(x) باشد آنگاه z نیز ریشه f(x) است اگر درجه چند جمله
ای f(x) فرد باشد حداقل یک ریشه حقیقی دارد
(10)
1
52= اگر z ریشه چند جمله ای f(x)=anx +……+a. باشد آنگاه ____ ریشه چند
n Z
چند جمله ای g(x)=a.x +……+ an است
53= تعیین حدود ریشه های یک چند جمله ای
n
اگر z ریشه f(x)=a. x +……..+a. باشد آنگاه |z||a.| +……+|an|+1
n
54= اگر تمام ریشه های f(x)=an x +…..+ a. حقیقی باشد یعنی zn,….,z1 ریشه های
معادله f(x) اعداد حقیقی باشند بطوری که |z1||z2||zn|
= =
2
a n-2 (an-1)
حدود ریشه ها: zn
a n a n =
1 2
r r = __________________ z1
2
( a 2)2 a 1 ) )
_______ - ______
a . a.
n
55= روش هور نر : اگر بخواهیم مقدار f(x)= a n x +……+ a. را برای x=a بدست
n (n+1)
آوریم باید ______ ضرب و n جمع انجام دهیم روش هور نر الگوریتمی است که مقدار
2
محاسبات f(u) را با n ضرب وn جمع انجام می دهد
n-1
اگر f(x)= (x-a) (b nx +…..+ b2 x+b1 )+b. آنگاهn bn=a و bi=abi+1 وi=n-1,….,0
f (a)=b.
n
56= جدول الگوریتم هورنر . فرض کنید f(x)=an x +…..+a. با استفاده از جدول زیر می
توانیم b. را برای x=a محاسبه کرد
a. a1 ........... an-2 an-1 an
______________________________________________________________
a b1 ab2 ............... abn-1 abn a
Bn-2=a bn-1+an-2 , …… , b1=ab2+a1 و an =bn , bn-1=abn+a n-1
b.=ab1+a.
n
57=حاصل تقسیم f(x)=anx +…..+a. بر (x-x.) باقیمانده p(x.) و خارج قسمت gn-1(x)
n-1
باشند در این صورت p(x)=b. و gn-1(x)=bn-1x +….+b2x +b1 بطوری که b.,,bn
از جدول هورنر قابل محاسبه هستند
' '
58= اگر f(x)=(x-x.)g n-1(x)+b. آنگاه f (x)=gn-1(x)+(x-a)gn-1(x) در نتیجه
'
f (a) = g n-1(a) پایان
(11)
فصل سوم : درون یابی
59 = درون یابی
/ /
نقاط متساوی الفاصله نقاط غیر متساوی الفاصله
/ / / / /
تفاضلات پیشرو تفاضلات پسرو لاگرانز تفاضلات تقسیم شده کمترین مربعات
فرض کنید نقاط x.y.,….,yn معلوم باشند بطوری که yi ها مقادیر
یک تابع مانند f(x) در نقاط xi که ضابطه آن مشخص نیست می باشند درون یابی تابع f(x)
یعین تعیین یک چند جمله ای مثل p(x) حداکثر از درجه n به طوری که در شرط درون یاب
یعنی p(xi)=yi برای i=0,1,…,n صدق کند و با استفاده از p(x) بتوان مقادیر x را در
نقاطی غیر از xi ها محاسبه کرد اگر x€[x.,…,xn] این عمل را درون یابی واگر x عضو
نباشد آن را برون یابی گوئیم اگر نقاط متساوی الفا صله باشند از تفاضلات پسرو وپیشرو
واگر متساوی الفاصله نباشند از روش های لاگرانژ و تفاضلات تقسیم شده برای درون یابی
استفاده می شود
60= خطای درون یابی : فرض کنید pn(x) چند جمله ای درون یاب f(x) در نقاط xnو...وx1
n+1
باشد اگر f€C [a,b] باشد آنگاه : n+1
f (£n)
f(x)-p(x)=________ (x-x.)……(x-xn)
(n+1)!
n+1
که £n€[x.,….,xn] . فرض کنید |f (x)|n+1 برای x€[a,b] در این صورت
Mn+1
e(x)=|f(x)-p(x)||(x-x.)…..(x-xn)|
(n+1)! 2
برای درون یابی خطی داریم : E(x)
8 =
3
M3h
برای درون یابی درجه دوم داریم: E(x)
___ =
9 v 3 4
M4h
برای درون یاب درجه سوم : E(x)
24 =
x 1,……., xn xi
61= روش لاگرانژ جدول ___________________ در این روش فرض کنیم l.(x) و
f i f. ,……...., fn
....و ln(x) هریک چند جمله ای هایی از درجه حد اکثر n هستند و داریم
P(x)= l.(x)f.+……+ln(x)fn
(12)
که l.(x) ها را چند جمله ای لاگرانژ گوئیم و داریم :
(x-x.)……..(x-xi-1)(x-xi+1)….(x-xn)
Li(x)=_______________________________
1-x.)…..(xi-xi-1)(xi-xi+1)……(xi-xn) (x
n
Li(x) ها مستقل خطی هستند . همواره داریم li(x)=1 £ چند جمله ای درون یاب منحصر
i=1
به فرد است برای j=1,…,n اگر i=j باشد آنگاه li(xi)=1 واگر i‡j آنگاه li(xj)=0
62= معایب روش درون یابی لاگرانز . به ازیا n بزرگ محاسبات آن طولانی است درجه
چند جملهای در انتهای محاسبات بدست می آید با اضافه کردن یک نقطه جدید به تابع جدولی
تمامی محاسبات باید از سر گرفته شود
63= روش تفاضلات تقسیم شده : x.,……., xn xi
__________________
fi , f1,……..,fn
f[xi+1]-f[xi]
f[xi,xi+1]=________________
xi+1-xi
f[x1,….,xn]-f[x.,…,xn-1]
f[x1,….,xn]=______________________
xn -x.
Xi fi f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2]…………………f[x0,…..,xn]
X. f.
f 1 -f.
_________ x1 f1 … f[x.,….,x n-1] f [xi,xi+1,xi+2] x 1 - x. _____________________________
f 2 –f1 x2 – x1
_______
x 2 - x 1
.
.
.
f[xn-1,xn]- f[xn-2,xn-1]
____________________ f n – f n-1
__________ x n f n
x n – x n-1 x n – x n-1
چند جمله ای
+ نوشته شده در ساعت 8:22  توسط جواد رمضانی |