مبانی ریاضی دانشگاهی
مبانی ریاضی دانشگاهی
بسم الله الرحمن الرحیم
مبانی ریاضی دانشگاهی
مولف: آذر سلگی
فصل 1 منطق:
1= هر جمله خبری که یا راست باشد یا دروغ اما نه هر دو یک گزاره ساده گفته می شود .
هم چنین از ترکیب چند گزاره ساده یک گزاره مرکب تشکیل می شود لازم نیست که راست
یا دروغ بودن جمله ای را بدانیم تا به آن گزاره گوئیم بلکه باید یکی از ارزش ها را داشته
باشد و جملات سوالی وامری و تعجبی و.... گزاره نیستند
2= گزاره های ساده را با حروف p,q,r,… و گزاره های مرکب را با حروف P,Q,R,…
نمابش دهیم که از نماد های زیر برای ساختن گزاره مرکب استفاده می شود
الف- نقیض که با علامت ~ نمایش داده می شود
ب- و که با علامت ^ نمایش داده می شود
ج- یا که با علامت V نمایش داده می شود
د- اگر ... آنگاه .... که با علامت à نمایش داده می شود
و- اگر و تنها اگر ... آنگاه ... که با علامت ßà نمایش داده می شود
اگر p گزاره درست باشد ~p نادرست است وبر عکس
3= اگر qو p دو گزاره باشند ترکیب عطفی آنها را با علامت p^q نمایش داده و جدول زیر
را داریم با این فرض که=true T و F=false
P q p^q
_________________________
پس p^q وقتی درست است که هر دو دو درست باشند T T T
F F T
F T F
F F F
4= اگر p,q دو گزاره باشند ترکیب فصلی p,q را به شکل زیر تعریف می کنیم
P q pVq
یعنی pvq فقط زمانی نادرست است که p,q هردو -------------------- -----
نادرست باشند T T T
T F T
T T F
F F F
5= یای مانع جمع که در فارسی استفاده می شود هر دو با هم اتفاق نمی افتند مثلا : علی در
امتحان قبول می شود یا رد . ولی یای منطقی که در بالا تعریف شده می تواند با هم اتفاق
(1)
بیافتد
6= گزاره های p ,q که ساده یا مرکب باشند اگر برای همه حالات منطقی دارای ارزش های
_
یکسان باشند این دو گزاره را هم ارز منطقی یا هم ارزی می گوئیم و می نویسیم P=Q
7= ~(~p)=p
8= اگر p,q دو گزاره باشند رابطه شرطی pàq (اگر p آنگاه q) هم ارز گزاره ~(p^~q)
می باشد و جدول زیر را دارد pàq q p
--------------------------------
به p مقدم و به q تالی گوئیم و وقتی نادرست اسکه مقدم درست وتالی نادرست باشد T T T
F F T
T T F
T F F
9= اگر p,q دو گزاره باشند رابطه دو شرطی pßàq (p اگر وفقط اگر q) با گزاره های
Pàq , qàp هم ارز است و جدول ارزش آن به شکل زیر است :
Pßàq p q
گزاره دوشرطی وقتی درست است که هردو مولفه --------------------------------
آن یک ارزش داشته باشد T T T
F F T
F T F
T F F
10= گزاره ای که در تمام حالات منطقی درست باشد راستگو و گزاره ای که در تمام حالات
منطقی دروغ باشد دروغگو ( تناقض ) نامیده می شود
گزاره pv~p گزاره راستگو و گزاره p^~p همواره دروغگو است
11= اگر p,q دو گزاره باشند بطوری کهpàqراستگو باشد pàq را استلزام می نامیم و
با p==> q نمایش دهیم در این صورت q را شرط لازم و p را شرط کافی می نامیم .
_
اگر pßàq راستگو باشد آنگاه هم ارزی می باشد وبا علامت pq یا p=q نمایش
دهیم و q را شرط لازم و کافی برای p می نامیم و p رانیز شرط لازم وکافی برای q نامیم
12= pßàq و qßàp یکی هستند ولی pàq , qàp یکی نیستند
13= pàq یعنی 4 حالت گزاره اتفاق می افتد ولی p== >q فقط حالت درست اتفاق می افتد
یعنی TàF اتفاق نمی افتد . هر قضیه همواره بیانگر یک گزاره یک شرطی راستگو است
14= اگر T,F,P به ترتیب یک گزاره و یک تناقض و یک راستگو باشند آنگاه :
الف) p^Tßàp و pvTçèT ب) P^FçèF و PvFßàp
ج) Fàp و pàT د) TßàF~ و FßàT~
15= استدلال قیاسی : هفده قانون زیر را در سه قضیه بیان می کنیم که به قواعد استنتاج
معروف هستند که می توان هم ارزی گزاره ها را به کمک آنها ثابت کرد
قانون جمع : pàpvq
قانون اختصار: p^qàp وp^qàq
رفع مولفه :àq (pvq)^~p (2)
_
نقیض مضاعف: ~(~p) = p
_ _
جابجایی: p^q=q^p و pvq = qvp
_ _
خود توانی: pvp=p و p^p = p
عکس نقیض: (~qà~p) = ( pàq)
قیاس استثنایی: àq (pàq)^p))
قیاسر دفع: (pàq)^~q)à~p)
برهان حذف: (pàq)ßà(p^~qàq^~p)
_ _
قانون دمورگان : ~(p^q)=~pv~q , ~(pvq)=~p^~q
16= قضیه : اگر p ,q , r گزاره های دلخواه باشند داریم
(pàq)^(ràs)== > (pvràqvs)
(pàq)^(ràs)== >(p^ràq^s)
(pàq)^(ràs)== >(~qv~sà~pv~r)
(pàq)^(ràs)== > (~q^~sà~p^~r)
در نوشتن گزاره ها اگر از پرانتز استفاده نشود تقدم رابطه ها به ترتیب ~ و v و ^ و بعد رابطه های شرطی می باشد
قاعده های استنتاج از یکدیگر مستقل نیستند و برخی از آنها را می تو ان از برخی دیگر
نتیجه گرفت که به این نتیجه گیری استدلال قیاسی گفته می شود به طور کلی در استدلال
قیاسی از تعاریف اصول موضوعه و قواعد استنتاج و قضایایی که قبلا ثابت شده است
استفاده می کنیم
17= گزاره ها سوری. در هر بحثی یک عالم سخن یا حوزه سخن یعنی دسته ای از اشیا
که خواص مورد نظر داشته باشد را در نظر می گیریم مثلا در گزاره افراد زیر 10 سال مجرد
عالم سخن را دسته همه انسان ها در نظر می گیریم در مواقعی که ابهامی نباشد که عالم سخن
معلوم باشد عالم سخن ذکر نمی شود برای همه x ها در عالم سخن را سور عمومی و با
__
علامت xV(A برعکس )نمایش دهیم .
_
برای x ای در عالم سخن را سور وجودی و باعلامت x |_ (E بر عکس )نمایش دهیم و
_
عبارت هیچ x ای در عالم سخن را سور صفر می گوئیم و با علامت x |_/ نمایش دهیم ( E برعکس ویک خط رویش)
(3)
جمله ای که در باره x چیزی می گوید را با علامت p(x) نمایش داده و گزاره می نامیم
_
نکته : , p(x)~ و برای هر x p(x)= و وجود ندارد x
18= نقیض سورها : نقیض سور وجودی میشود سور عمومی ونقض p(x)
نقض سور وجودی می شود سور عمومی و نقض p(x)
نقض سور صفر می شود سور وجودی و خود p(x)
نقض سور عمومی و وجودی با هم می شود سور وجودی و سور عمومی و نقضp(x,y)
19= استنتاج : اگر از گزاره های p1,….,pn کزاره Q نتیجه گیری شود گزاره های pi را
مفروضات یا مقدمات و گزاره Q را نتیجه استنتاج نامیم وبا علامت p1,…,pn|èQ یا با
.
زیر هم نوشتن گزاره های pi و یک خط زیر آن کشیده و با علامت Q . . نتییجه
گیری می کنیم .و گوئیم نتیجه معتبر است هر گاه p1^…^pnèQ استلزام باشد
برای اثبات معتبر بودن یک استنتاج به کمک قواعد استنتاج از برخی مفروضات داده شده
نتایجی را بدست آورده و با مفروضات دیگر مقایسه کرده و نتایج جدیدی را بدست می آوریم
این روند را ادامه می دهیم تا به نتیجه استنتاج برسیم.
روش های اثبات :
20= اثبات قضایای کلی به روش مستقیم بسیاری از قضایا های مهم ریاضی گزاره های کلی
هستند که برای اثبات به روش مستقثیم باید برای اشیاء دلخواه و از این پس ثابت حکم را
نتیجه گرفت
21= اثبات قضایای جزیی به روش مستقیم . در قضایای جزیی از سور وجودی استفاده شده
است و کافی است یک شی که در حکم صدق می کند را ارائه کنیم ویا تنها وجود آنها را ثابت
کنیم
22= اثبات به انتقا مقدم . در گزراه های شرطی pàq اگر p دروغ باشد آنگاه گزاره راست
است حال اگر در قضیه ای مقدم دروغ باشد بدون در نظر گرفتن تالی قضیه اثبات می شود که
به آن انتفا مقدم گفته می شود
23= مثال نقض: برای رد یک گزاره کلی یابه عبارتی اثبات نقیض آن که خود یک قضیه
جزیی است کافی است یک شی که حکم گزاره کلی برای آن صادق نیست ارائه کنیم
24= اثبات قضایای شرطی . برای اثبات قضیه شرطی اگر p آنگاه ض باید ثابت کنیم اگر p
راست باشد q نیز راست است
25=اثبات به روش عکس نقیض . گزاره p ,q با گزاره ~qà~p معادل است برای اثبات
(4)
اولی می شود دومی را اثبات کنیم
26= اثبات قضایای دوشرطی pçèq باید دو قضیه شرطی pèq, qèp را اثبات کنیم
که می توان برای اثبات هر کدام از عکس نقیض کمک گرفت.
27= برهان خلف . یکی از قدرت مند ترین روش های اثبات در ریاضیات است بطوری که اگر
بخواهیم حکم q را با وجود مفروضات اولیه و اصول موضوعه و تعاریف ثابت کنیم ابتدا
فرض کنیم q دروغ یا ~q راست باشد ( فرض خلف) و با هر روشی که کلی باشد یک تناقض
( گزاره همیشه دروغ) می رسیم در این صورت گوئیم فرض خلف باطل وحکم ثابت شده است
28= اثبات به روش مستقیمبه حالت های مختلف : قضیه شرطی pèq را در نظر می گیریم
اگر بتوان p را به حالت p1,…,pn تقسیم کرد در این صورت برای اثبات pèq کافی است
ثابت کنیم pièq راست است .
29= اثبات معادل یا هم ارز بودن چند گزاره . اگر بخواهیم معادل بودن گزاره های p1,….,pn
را اثبات کنیم یعنی piçèpj کافی است یک حلقه از قضایای pi1èpi2è…èpinèpi1
راثابت کنیم . باید گزاره اول و آخر یکی باشند وکل گزاره ها در حلقه دیده شود ولی انتخاب
کدام گزاره برای شروع دلخواه است .
(پایان فصل یک)
فصل 2 مجموعه ها:
30= مجموعه وزیر مجموعه: مجموعه تعریف دقیقی ندارد می توان گفت از کنار هم قرار
دادن تعداد ی شی یک مجموعه تشکیل می شود که به این اشیا اعضا یا عناصر گفته می
شود البته مجموعه یک خاصیت یذاتی به نام خوش تعریفی دارد به این مفهوم که باید اعضا
یک مجموعه کاملا مشخص باشند مجموعه همه انسا ن ها ی کره زمین موجود است اما
مجموعه همه انسان های زیبا مفهومی ندارد زیرا زیبا بودن معیار مشخصی برای تعیین شدن
ندارد
31= مجموعه معروف عبارتند از مجموعه خالی یعنی ¢ و اعداد طبیعی N و اعداد صحیح Z
C + -
و اعداد گویا Q و اعداد گنگ Q و حقیقی R و R و R می باشند
32= اگر A,B دو مجموعه باشند وهر عضو A در B باشد گوئیم A زیر مجموعه B یا B ابر
مجموعه A می باشد و ACB
ACBçè[ ¥x,x€Aàx€B]
اگر ACB آنگاه B شامل A است یا A مشمول B واگر نباشد A¢B
(5)
33= اگر A,B دو مجموعه باشند وتمام عناصر آن دو با هم برابر باشند A,B را مساوی
گوئیم و می نویسیم A=B
A=B çè¥x,(x€Açèx€B)
34= اگر A,B دو مجموعه باشند بطوری که ACB و BCA آنگاه A=B
35= برای اثبات تساوی دو مجموعه از نکته بالا که اصل گسترش است استفاده می کنیم
36= مجموعه تهی زیر مجموعه هر مجموعه ای است
37= اگر A یک مجموعه باشد مجموعه ای که شامل تمام زیر مجموعه های A است را
مجموعه توانی A نامیده می شود وبا p(A) نمایش دهیم .
n !
38= اگر A دارای n عضو باشد A دارای -------- = (n ) زیر مجموعه r
r !(n-r)! r
عضوی است
n n n n
39= P(A) دارای 2 = ( 0 )+( 1 )+….+ ( n ) عضو است
40=اگر مجموعه ای مثل A و گزاره مثل p(x) داشته باشیم : B={x€A|p(x)} را می
توان ساخت که قاعده اصل موضوع تصریح گفته می شود یعنی B زیر مجموعه ای از A
می باشد که دارای خاصیت p(x) باشند
41= اعضای یک مجمعوه متمایز هستند مثل {1,1,2,2,3} که همان {1,2,3} می باشد
هم چنین ترتیب عناصر دو مجموعه مهم نیست مثل {2,4,7} = {4,7,2}
42=اعمال روی مجموعه ها : برای تعریف اعمال روی مجموعه ها می توان نمودار هایی
به اسم ون که مستطیل نمایش M یا U که همان مرجع یا عالم سخن است می باشد و
هر مجموعه را با دایره مشخص می کنیم
____
اجتماع:|A OO B|M :
______________
که هر دو دایره هاشور می خورد
x€AUBèx€Avx€B
(6)
اشتراک: x€AnBèx€A,x€B که وسط دو دایره متقاطع هاشور می خورد
c
مکمل: A مفروض باشد مکمل آن را با A نشان داده متمم نیز گوئیم و در مستطیل بیرون
C c
دایره A هاشور می خورد و داریم : M-A=A و x€Açèx¢A
c
تفاضل : A-B= AnB و x€A-Bàx€A,x¢B
که در نمودار قسمت اول دایره A بدون اشتراک را هاشور می زنیم
تفاضل متقارن : A^B=(A-B)U(B-A)=(AUB)-(AnB)
که بجز اشتراک دو طرف دو دایره را هاشور می زنیم
43= خواص مجموعه ها: اگر ACB و BCC آنگاه ACC
c
-اگر ACB آنگاه AnB=A, AUB=B, A-B=¢ , BUA =M
-اگر ACC و BCC اگر و تنها اگر AUBCC
ACB,ACC - اگر وفقط اگر ACBnC
- ACB اگر وفقط اگر P(A)C P(B)
- اگر ACB آنگاه AUC C BUC و Anc c Bnc
- اگر ACC و BCA آنگاه : AUB C CUB , AnB C CnB
- C C A اگر وفقط اگر : (AnB)UC=An(BUC)
C c C c c C
44= ,(A ) = A و M = ¢ و M = ¢ و AnA = ¢ و AUA=M
C C
- ACB اگر وفقط اگر B C A
C C C C C C
دمورگان : (AUB) =A n B و (AnB) = A U B
C C c c
اگر AnB=¢ آنگاه A C B , BC A و A-B=A و B-A-B و A – B=B - A
45= خواص اجتماع و اشتراک :
اگر A,B,C زیر مجموعه های دلخواه مجموعه X باشند آنگاه خواص زیر را داریم :
عضو خنثی: M=A AU¢=A , An
قوانین خود توانی :A=A , AnA=A AU
قوانین جابجایی: AnB=BnA , AUB=BUA
قوانین شرکت پذیری: An(BnC)=(AnBn C ) , AU(BUC)=(AUB)UC
قوانین بخش پذیری: AU(BnC)=(AUB)n(AUC) , An(BUC)=(AnB)U(Bnc)
(7)
AUB=B اگر وفقط اگر : ACB
AnB=A اگر وفقط اگر ACB :
(A-B)UB=A اگر وفقط : ACB
AnC C BnC و AUC C BUC آنگاه A C B
AnC=BnC و AUC=BUC آنگاه A=B
46= خواص تفاضل متقارن:
c c
A^¢=A , A^A=¢ , A^A = M, A^M=A , A^B=B^A
A^(B^C)=(A^B)^C
A^B=A اگر وفقط اگر B=¢
A^B=¢ اگر وفقط اگر A=B
اگر B^C=A^C آنگاه A=B
47= خواص توزیع پذیری اعمال نسبت به هم:
An(B-C)=(AnB)-(AnC) , An(B^C)=(AnB)^(AnC)
(AUB)-C=(A-C)U(B-C) , (A-B)-C=(A-C)-(B-C)
(A-B)-C=(A-C)-(B-C) , (A^B)-C=(A-C)^(B-C)
A-(BnC)=(A-B)U(A-C) , A-(BUC)=(A-B)n(A-C)
48= برای A,B,C داریم: A-B=A-(BnA)
c c c c
AUB=AU(B-A) , (AnBnC) = A n B n C
c c c c
(AUBUC) = A n B n C
49= اگر An , …., A1 و C مجموعه باشند آنگاه :
(A1-C)U(A2-C)….U(AN-C)=(A1U…..UAn)-C
این الگو برای اشتراک و تفاضل نیز برقرار است.
50= اگر BCC بطوری که AUB=C و AnB=¢ در این صورت A=C-B,B=C-A
51= خانواده : خانواده دسته ای از اشیا است که اعضای آن ممکن است متمایز باشد
خانواده {1,2,2} با {1,2} متفاوت است ولی به عنوان مجموعه هر دو یکی هستند
52= قرض کنید I یک مجموعه است برای i¢I مجموعه Aiمفروض است خانواده تمام
مجموعه های Ai را خانواده مجموعه های اندیس گذار نایمی و {Ai|i€I} ویا
(8)
{Ai}i€I نمایش دهیم .
n n
تعمیم اشتراک و اجتماع : Ai , nAiU را اجتماع و اشتراک مجموعه های
i=1 i=1
خانواده می نامیم .
UAi= ¢ , nAi=M
i€¢ i€¢
53= اگر {Ai|i€I} و B یک مجموعه باشد آنگاه :
C c
Ai) = UAi n)
i€I i€I
و بر ای عمل اجتماع واشتراک نیز درست است
BU( n Ai ) = n (BUAI)
i€I i€I
( پایان فصل 2)
فصل 3: رابطه ومشبکه :
54= برای هر روشی a,b زوج مرتب را با (a,b) نمایش دهیم (a,b) با {a,b} متفاوت
است زیرا در حالت کلی (b,a)‡((a,b ولی {a,b}={b,a} می توان زوج مرتب a,b
را به شکل {a,{a,b}} نیز نمایش داد. (a,b)=(c,d)çèa=c,b=d
a را مولفه اول و b را مولفه یا مختص دوم نامیم.
55= حاصل ضرب دکارتی :AxB={(x,y)|x€A,y€B}
اگر A=¢ آنگاه ¢= AxB در این حالت ضرب جابجایی دارد
B=¢ یا¢=AxB=BxAçèA=¢ اگر A دارای m عضوی B دارای n عضو
باشد AxB دارای mn عضو است
56= خواص زیر برای مجموعه ها بر قرار است .
Ax(BnC)=(AxB)n(AxC)
Ax(BUC)=(AxB)U(AxC)
Ax(B-C)=(AxB)-(AxC)
(AxB)n(CxD)=(AnC)x(BnD)
(AxB)-(CxD)=((A-C)XB)U(Ax(B-D))
ا گر ACB آنگاه BxCAxC C
اگر A,B,C,D نا تهی باشند AxB=CxD اگر وفقط اگر B=D و A=C
57= رابطه : اگر A,B دو مجموعه باشند به هر زیر مجموعه AxB یک رابطه از A به
(9)
B گفته می شود رابطه را با R نمایش داده و به جای (a,b)€R از نماد aRb یا R(a)=b
استفاده می شود وا گر ACB به جای اینکه بگوئیم R یک رایطه از A به A است می
گوئیم R یک رابطه در A یا روی A است . اگر x مجموعه n عضوی و y مجموعه m
Mn 1-
عضوی باشد 2 رابطه از x به y داریم : وارون رابطه R را با R نمایش می دهیم
1- 1-
R : BèA , R = {(a,b)|(b,a)€R}
1-
bRa çè aRb
58= R:xèy یک رابطه باشد دامنه (حوزه ) و برد (نگاره) R که به ترتیب با
(R)Dom و Im(R) نمایش دهیم .
Dom(R)={x€X|£y€Y,(x,y)€R}
X,(X,Y)€R}€€Y|£xIm(R)={y
59= اگر R یک رابطه باشد و XCA و YCB در این صورت تحدید R به X به
R|X={(x,y)€R|x€X} , R|x:xèB
تصویر x تحت R (R-نگارهx) به صورت زیر تعریف می شود
R(x)={y€B|£x€X, (x,y)€R}
1-
تصویر معکوس y که همان تصویرy تحت R می باشد به صورت زیر تعریف می شود
1-
R (y)={x€A|£y€Y,(x,y)€R}
تحدید R به x یعنی R|x یک رابطه است و R – نگاره X زیر مجموعه ای از برد
R است R(x)=ImR|x وتصویر معکوس y زیر مجموعه ای از دامنه R است
1- 1- 1-
60= اگر R یک رابطه باشد (R ) = R و Dom(R ) =Im(R)
1-
ImR =Dom(R)
61= R:AèB یک رابطه باشد و X,YcA در این صورت :
R|X=Rn(XxIm(R) , R|XUy=R|XUR|Y
R|XnY =R|X n R|y, R(XUY)=R(X)UR(X)
R(XnY)C R(X)n R(Y)
اگر XCY آنگاه R(X)C R(Y)
1-
R(X)-R(Y)C R(X-Y) , Im(R)=R(A) , Dom(R)=R (B)
62= R,S:AèB دو رابطه باشند RUS , RnS روابطی ایز A به B هستند
(9)
وداریم :
Dom(RUS)=Dom(R) U Dom(S )
Im(RUS)=ImRUImS
(RUS)(X)=R(X)US(X),X€A
1- 1- 1- 1- 1- 1-
(RUS) = R U S , (RnS) = R n S
63= اگر R یک رابطه در X باشد در این صورت :
R را انعکاسی نامیم هرگاه x€X, xRx :
R را متقارن نامیم اگر xRy آنگاه yRx
R را پاد متقارن نامیم هر گاه اگر xRy و yRz آنگاه xRz
64= رابطه R در X هر چهار خاصیت انعکاسی و تقارنی و پاد تقارنی و تعدی را
دارد اگر وفقط اگر R=IX
65= اگر R یک رابطه در مجموعه X باشد آنگاه R انعکاسی است اگر وفقط اگر
1-
IXCR --R متقارن است اگر وفقط اگر R = R و R پاد متقارن است اگر وفقط
1-
اگرRnR CIx و R متقارن و پاد متقارن است اگر وفقط اگر R C I x
1- 1-
66= اگر R یک رابطه و R وارون آن باشد آنگاه R انعکاسی است اگر وفقط اگر R
1-
انعکاسی باشد و R پاد متقارن است اگر وفقط اگر R پاد متقارن است و R متعدی است
1- 1- 1-
اگر وفقط اگر R متعدی باشد . RUR رابطه ای متقارن است – Rn R رابطه ای
1-
متقارن است. اگر S رابطه متقارن در x باشد بطوری که RCS آنگاه RUR CS
یعنی اجتماع کوچکترین رابطه متقارن شامل R است . اگر S رابطه متقارن در X باشد
1-
SCR آنگاه SCRnR یعنی اشتراک بزرگترین رابطه متقارن مشمول R می باشد
67=ترکیب روابط S:YèZ و R:XèY داریم :
SOR={(X,Z)€XxZ|£y€Y((x,y)€R,(y,z)€S)}
68=R:XèY, S:YèZ , T:Zèr داریم: TO(SOR)=(TOS)OR
1- 1- 1-
(SOR )= R O S
69= R:XèY آنگاه : )U(SOR) TUS)OR=(TOR)
S,T:YèZ آنگاه : TO(RnS)C (TOR)n(TOS)
70= R یک رابطه روی X باشد کوچکترین رابطه انعکاسی شامل R را بستار
(10)
انعکاسی R می نامیم کوچکترین رابطه متقارن شامل R را بستار متقارن R می نامیم
کوچکترین رابطه متعدی شامل R را بستار متعدی r می نامیم.
71= R یک رابطه روی X می باشد بستار انعکاسی R برابرRUIx می باشد بستار
1- 3 2
متقارن R برابر RUR می باشد بستار متعدی R برابر RURURU…. که
n-1 n
R=R OR
72=رابطه هم ارزی و افراز: هر گاه رابطه R در X خواص انعکاسی و تقارن و تعدی
را داشته باشد هم ارزی نامیده می شود . اگر X یک مجموعه ناتهی و p خانواده ای
اززیر مجموعه های نا تهی X باشد p را یک افرازX نامیم هر گاه A=B یا
AnB=¢ یا U A=X
A€p
73= کلاس هم ارزی : R یک رابطه روی مجموعه نا تهی X باشد هر X€X کلاس
x
یا رده هم ارز x را با ---- نمایش دهیم و با [x] نمایش دهیم و داریم
R
X x x
----= {---- |x€X} , -----= {y€X|yRx}
R R R
X
74=اگر R یک رابطه هم ارزی روی مجموعه نا تهی X باشد آنگاه هر کلاس ----
R
Y R
یک زیر مجموعه نا تهی X است و ---- n ----- = ¢ اگر وفقط اگر xRy
R R
Y x
xRy اگر وفقط اگر ----=---- یعنی اگر R رابطه ای روی x باشد وهم ارز باشد
x R R
---- یک افراز X می باشد
R
x
75= اگر p یک افراز مجموعه ئا تهی X باشد ---- یک رابطه هم ارزی روی X هست و x P
و کلاس های هم ارزی که از رابطه هم ارزی ---- بدست می آیند دقیقا مجموعه های افراز
x P
P هستند در واقع داریم :-----= p مجموعه همه روابط هم ارزی روی x با مجموعه همه
x
(-----)
P
افراز های x در تناظر یک به یک است
X X
76= اگر p یک افراز مجموعه نا تهی x در رابطه هم ارزی ---- باشد ----=UAxA
P A€P P
اگرX یک مجموعه متنا هی و P={A1,…,AK} یک افراز مجموعه نا تهی X باشد مقدار
X 2 2 2
زوج های مرتب ---- برابر با n1+n2+….+nkکه ni تعداد اعضای Aiمی باشد
P (11)
X x x
X/(X/R)=R و ---- افر از متناظر با R روی X می باشد ----- متناظر با افراز ----
R x R
(------)
R
و با R برابر است . اگر {A1,…..Am} یک افراز مجموعه A و {B1,…,Bn} یک افراز
مجموعه B باشد AixBj یک افراز برای AxB می باشد
77= رابطه ترتیب : اگر رابطه ای خواص انعکاسی و پاد تقارنی و تعدی داشته باشد ترتیب
نامیده می شود اگر در رابطه ترتیج جزیی برای هر عضو ab
= =
کلا مرتب نامیم هر زیر مجموعه کلا مرتب را زنجیر نامیم
78= اگر (A,BCA باشد a€A را کران بالای B نامیم هر
گاه b€B و a€A را کران پائین B گوئیم هر گاه a€B
= =
کران بالای B مانند a را کوچکترین کران بالای B (سوپریمم) نامیم هر گاه هر کران بالای B
n و asup(B) نمایش دهیم . کران پائین B مانند a را بزرگترین کران
=
پائین ( اینفیموم ) B گوئیم هر گاه برای هر کران پائین مثل x و xinf(B) نمایش دهیم =
کران های یک مجموعه ممکن است عضوان باشند و کران بالا اگر یکتا باشد برابر با sup
است واگر کران پائین یکتا باشد برابر با inf است که هر دو یکتا هستند
79= (A,a€A را بزرگترین عضو یا ماکزیمم A نامیم
=
هر گاه برای x€A و xmax(a) نمایش دهیم
=
عضو a€A کوچکترین عضو یا مینیمم A نامیم هر گاه برای x€A و amina
=
نامیم .
عنصر a€A را عضو ماکسیمال A نامیم هر گاه از aa=x در واقع a
=
از تمام عناصری از Aکه با a قابل مقایسه هستند بزرگ تر باشد عنصرa€Aرا عضو مینیمال
A گوئیم هر گاه از xx=a یعنی a از تمام عناصر A
=
که با a قابل مقایسه هستند کوچکتر باشد max ,min یکتا هستند ولی ماکسیمال و مینیمال
یکتا نیستند
80= مشبکه : مجموعه جزیی (A,sup{a,b} و
inf{a,b} که با علامت a^b,avb نمایش دهیم در A موجود باشند که یکتا هم هستند
81= نمودار هاس: برای بررسی مشبکه ها از این نمودار استفاده می شود .
(A,A را نمایش داده خطوطی آنها را به هم وصل
=
می کنیم بطوریکه aa پائین b قرار گیرد و یک مسیر از پائین به بالا از a به b
=
موجود باشد (12)
82= خواص مشبکه : اگر (A,
خود توانی: ava=a ,a^a=a
جابجایی: avb=bva , a^b=b^a
شرکت پذیری: (avb)vc=av(bvc) , a^(b^c)=(a^b)^c
ضرب: a^(avb)=a , av(a^b)=a
^ba^b
= = = =
açèa^b=açèavb=b
=
اگر abçè avbccçè c^b
= = = = = =
اگر aavca^c^c
= = =
اگر acavc^d a^c
= = = =
(پایان فصل 3)
فصل 4 تابع و جبربول:
83= فرض کنیم X,Y دو مجموعه باشند یکی تابع از x به Y یک سه تایی مرتب
(f,X,Y) باعلامت : f:XèY که Domf=X, و از (x1,y1), (x2,y2), x1=x2
نتیجه بگیریم که y1=y2 یا f(x1)=f(x2) یعنی خوش ترتیب باشد که به f(x)
ضابطه تابع و به Y هم دامنه گوئیم
84= اگر f:xèy یک تابع و w یک مجموعه شامل Im(f) باشد f:XèW نیز تابع است
و f:XèIm(f) تابع است
85= اگر XèY :f,g دو تابع باشند آنگاه f=g اگر وفقط اگر برای هرYx€ داشته باشیم
F(x)=g(x)
86= در واقع دو تابع با هم برابرند هرگاه دامنه یکسان داشته باشند و اثر آنها برهر عضو دامنه
برابر باشد.
87= اگر f,g دو تابع باشند آنگاه :
FcgçèDomf C Domg , ¥x€Domf:f(x)=g(x)
اگر fCg و D0mgCDomf, انگاه f=g
88= اگر f یک تابع باشد هر زیر مجموعه f مثل g یک تابع است
89= اگر f:AèC,g:BèD دو تابع باشند بطوری که برای x€AnB و f(x)=g(x)
آنگاه fUg:AUBèCUD=h با ضابطه زیر تابع است
(13)
A f (x) x€
h (x)= {g(x) x€B
90= اگر f,g دو تابع باشند آنگاه fng تابع است ولی fUg ئر صورتی تابع است که
x€DomfnDomg و f(x)=g(x) و برعکس
91= اگر T یک مجموعه از توابع باشد بطوری که برای هر f,g€T یا fCg یا
GCf آنگاه Uf یک تابع است
92= f,g مجموعه هستند واجتماع و اشتراک آنها به صورت اجتماع و اشتراک دو
مجموعه می باشد
93= اگر X یک مجموعه با n عضو و Y یک مجموعه با m عضو باشد تعداد توابع
n
از X به Y برابر m می باشد
94=داگر f:xèy یک تابع و A یک زیر مجموعه نا تهی X باشد آنگاه تحدید f به
A یعنی AèY ::f|Aیک تابع است و خواص تحدید رابطه برای تابع نیز بر قرار است
95= اعمال اصلی روی توابع : با اینکه نمی توان عناصر دو مجموعه را با هم جمع یا
ضرب کرد ولی این عمل در اعداد حقیقی امکان دارد پس اعمال اصلی توابع را به شکل زیر
تعریف می کنیم:
¥x€X:(f±g)(x)=f(x)±g(x) , (fg)(x)=f(x)g(x)
0 ‡ (x)/g(x) , g(x)(f/g)(x)=f
در این تعریف به جایر R هر زیر مجموعه و حتی اعداد مختلط C هم می توان
قرار داد
96= اگر f,g دو تابع حقیقی مقدار باشند آنگاه :
Dom(f±g)=Dom(fg)=DomfnDomg
Dom(f/g)=DomfnDomg={x€X|g(x)=0}
97= اگر f:XèY یک تابع ACX و BCY باشد در این صورت تصویر A
تحت f که با f(A) نمایش دهیم به شکل:
F(A)={f(x)€y|x€A}
1-
تصویر معکوس B تحت f که با f (B) نمایش می دهیم به صورت زیر است
-1
F (B)={x€X|f(x)€B}
98=اگر f:xèy یک تابع و A,BCX آنگاه : f(¢)=¢
(14)
99=اگر f:xèy یک تابع و {Ai|i€I} یک خانواده از زیر مجموعه های X باشد
د
آنگاه : f(UAi)=Uf(Ai) , f(nAi)=nf(Ai)
I i€I i€I i€I i€
100= اگر F:XèY یک تابع و B,C C Y باشد آنگاه :
1- 1-
اگر B C C آنگاه f (B) C f (C)
1- 1- 1- 1- 1- 1-
f (BUC)= f (B) n f(c) , f (BnC)= f(B) n f (c) ,
1- 1- 1-
f(B-C)= f(B) - f(c)
101= اگر f:xèy یک تابع و {Bi|i€I} یک خانواده از زیر مجموعه های Y باشد آنگاه :
1- 1- 1- 1-
f (UBi) = U f (Bi) , f (n B i )= n f (Bi)
i€I i€I I€ i i€I
یعنی f از اجتماع و اشتراک و تفاضل عبور می کند اما از اجتماع عبور نمی کند وتحت شرایط
f از اشتراک و تفاضل نیز عبور می کند
1- 1-
102= اگر f:XèY یک تابع و ACX و BCY باشد آنگاه A C f (f(A))و (B))CB f(f
1- 1-
f (An f (B))=f(A)nb و f
+ نوشته شده در ساعت 8:22  توسط جواد رمضانی |